Distance d'un point à un plan

Propriété

On se place dans un repère orthonormé  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) . 
Soit \(P\) un plan d'équation cartésienne  \(ax+by+cz+d=0\) et  \(\text A(x_\text A~;~y_\text A~;~z_\text A)\)  un point n'appartenant pas au plan \(P\) . Alors la distance entre le point \(\text A\) et le plan \(P\) est donnée par : `` \(\boxed{\dfrac{|ax_\text A+by_\text A+cz_\text A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}\) .

Démonstration

On cherche à exprimer la distance \(\text A\text H\) , où \(\text H(x~;~y~;~z)\) est le projeté orthogonal de \(\text A\) sur \(P\) .

\(\text H(x~;~y~;~z)\in P\)  donc ses coordonnées vérifient la relation  \(ax+by+cz+d=0\) .

\(P\)  a pour vecteur norm al  \(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\ \end{pmatrix}\) .
Or  \(\overrightarrow{\text A\text H}\begin{pmatrix} x-x_\text A\\y-y_\text A \\z-z_\text A \\ \end{pmatrix}\)  est colinéaire à  \(\overrightarrow{n}\) .

Donc  \(\overrightarrow{\text A\text H}\cdot \overrightarrow{n} = \pm \text A\text H\times ||\overrightarrow{n}||\) . Autrement dit,  \(\text A\text H\times ||\overrightarrow{n}||=|\overrightarrow{\text A\text H}\cdot \overrightarrow{n}|\)     (*).

Or  \(|\overrightarrow{\text A\text H}\cdot \overrightarrow{n}|=|a(x-x_\text A)+b(y-y_\text A)+c(z-z_\text A)|=|ax+by+cz-ax_\text A-by_\text A-cz_\text A|\) .
D'où  \(|\overrightarrow{\text A\text H}\cdot \overrightarrow{n}|=|-ax_\text A-by_\text A-cz_\text A-d|=|ax_\text A+by_\text A+cz_\text A+d|\)  
car \(ax+by+cz=-d\) .   (**)

Enfin,  \(||\overrightarrow{n}|| = \sqrt{a^2+b^2+c^2}\) . 

Donc, en utilisant (*) et (**), on a :  \(\text A\text H\times \sqrt{a^2+b^2+c^2} = |ax_\text A+by_\text A+cz_\text A+d|\) .

Comme  \(\overrightarrow{n}\)  est non nul, alors sa norme n'est pas nulle non plus, on peut donc diviser par celle-ci. D'où le résultat :  \(\text A\text H=\dfrac{|ax_\text A+by_\text A+cz_\text A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) .

Exemple
On se place dans un repère orthonormé \(\left(\text O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) . Soit \(P\) un plan d'équation cartésienne  \(x+3y+4z-8=0\) . Soit  \(\text A(1~;~2~;~3)\)  un point.

Alors on a :  \(\text A\text H=\dfrac{|1+3\times 2+4\times 3-8 |}{\sqrt{1^2+3^2+4^2}}=\dfrac{11}{\sqrt{26}}=\dfrac{11}{26}\sqrt{26}\) . 

Remarque

On peut redémontrer ce résultat en calculant la norme du vecteur  \(\overrightarrow{\text A\text H}\) , où \(\text H\) est le projeté orthogonal de \(\text A\) sur \(P\) .
On démontre que  \(\text H\) a pour coordonnées :  \(\text H\left(\dfrac{15}{26}~;~\dfrac{19}{26}~;~\dfrac{17}{13}\right)\) . 
Alor s  \(\overrightarrow{\text A\text H} \begin{pmatrix} -\dfrac{11}{26}\\ -\dfrac{33}{26}\\ -\dfrac{22}{13}\end{pmatrix}\) .
D'où  \(\text A\text H=\sqrt{\left(-\dfrac{11}{26}\right)^2+\left(-\dfrac{33}{26}\right)^2+\left(-\dfrac{22}{13}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{121}{26}}=\dfrac{11}{\sqrt{26}}=\dfrac{11}{26}\sqrt{26}\) .